Exempla in basic Formulae "Point ratione vel sectiones '
Si ego,
Problems XXI: Find in coordinatae puncti P (x, y) segmentis dorsalibus quam rectam dividit speram intrinsecus jungentis puncta (21) atque (1,1) in Ratio I: II.
Solutio: Nos iam scire,
Si autem punctus P (x, y) segmentum rectae AB partes intrinsecus admovendus in Ratio m: n,ubi coordinatae A et B sunt (x1,y1) et (x2,y2) respectively. Tum autem continuae Coordinata geographica:
et
(vide formulae chart)
Dicens hanc formulam non possumus dicere, (x1,y1) ≌ (1,1), id est x1= 1, y1=I,
(x2,y2)≌ (4,1), id est x2= 4, y2=1
et
m: n ≌ I: id est II I = m: n = II
Ergo,
x =
( posito valore ipsius n, in m &
aut, x =1*4+2*1/3 ( posito valore ipsius x1 & x2 etiam )
aut, x = 4 2 + / 3
aut, x = 6*3
Or, 2 x =
Exponantur get,
y =
( posito valore ipsius n, in m & y =
aut, y =(1*1+2*1)/3 ( posito valore ipsius y1 & y2 etiam )
aut, y = 1*1+2/3
aut, y = 3/3
aut, y = 1
Ergo, II = I = x et y id est coordinatae puncti P (2). (Ans)
Magis adhuc in usu per formam procedendi pertinent respondit difficultates quae data inferius in superius descriptus quaestio XXI: -
I problema: Invenire coordinatae puncti, qui dividit speram intrinsecus CIRCULI jungentis puncta (0,5) atque (0,0) in Ratio II: III.
Ans. (0,2)
I problema: Qui punctus dividit speram intrinsecus invenire segmento recta jungens praedicta ilia puncta (1,1) atque (4,1) in Ratio II: I.
Ans. (3,1)
I problema: Invenire punctum quod est in linea segmentum mendacium jungentis puncta (3,5), et (III, 3,) Ratio divisas bifariam in I, I
Ans. (3,0)
I problema: Invenire coordinatae puncti, qui dividit speram intrinsecus CIRCULI jungentis puncta (-4,1) et (4,1) in III Ratio: V
Ans. (-1,1)
I problema: Qui punctus dividit lineam invenire intra fegmentum jungentis puncta (-10,2) et (10,2) in Ratio 1.5 : 2.5.
_____________________________
Causa-II
Problems I: Invenire coordinatae puncti Q (x, y) quam extra se dividit CIRCULI jungentis puncta (2,1) atque (6,1) in Ratio III: I.
Solutio: Nos iam scire,
Si autem punctus Q (x, y) segmentum rectae AB partes extrinsecus in Ratio m: n,ubi coordinatae of A et B sunt (x1,y1) et (x2,y2) respectively, tunc coordinatae puncti P sunt
et
(vide formulae chart)
Dicens hanc formulam non possumus dicere, (x1,y1) ≌ (2,1), id est x1= 2, y1=I,
(x2,y2)≌ (6,1), id est x2= 6, y2Et I =
m: n ≌ III: I ie m=3: N =1
Ergo,
x =
( posito valore ipsius n, in m & x =
aut, x =(3*6)-(1*2)/2 ( posito valore ipsius x1 & x2 etiam )
aut, x = 18, 2 / 2
aut, x = I / XXX
aut, x = 8
Exponantur get,
y =
( posito valore ipsius n, in m & y =
aut, y =
( posito valore ipsius y1 & y2 etiam )
aut, y = 3, 1 / 2
aut, y = 2/2
aut, y = 1
Ergo, I VIII = x et y = Q id est coordinatae puncti (8,1). (Ans)
Magis adhuc in usu per formam procedendi pertinent respondit difficultates quae data inferius in superius descriptus quaestio XXI: -
I problema: Invenire illud quod exterius dividit CIRCULI jungentis puncta (2,2) atque (4,2) in Ratio 3 : 1.
Ans. (5,2)
I problema: Invenire illud quod exterius dividit CIRCULI jungentis puncta (0,2) atque (0,5) in Ratio 5:2.
Ans. (0,7)
I problema: Invenire punctum in fundo partem quae falsa CIRCULI jungentis puncta (-3 -2) atque (III -3) per Ratio 2 : 1.
Ans. (IX, 9)
________________________________
Causa-III
Problems I: Invenire punctum lineae portio coordinatae jungentis puncta (-1,2) et (1,2).
Solutio: Nos iam scire,
Si autem punctus R (x, y) in linea segmentum medium conjungens A (x1,y1) et B (x2,y2).Et coordinatae R sunt
et
(vide formulae chart)
III-re-ut est forma in casu m = n I et I =
Dicens hanc formulam non possumus dicere, (x1,y1) ≌ (-1,2) ie x1= -1, y1=et II
(x2,y2)≌ (1,2), id est x2= 1, y2=2
Ergo,
x =
( posito valore ipsius x1 & x2 in x =
aut, x = 0/2
aut, x = 0
Exponantur get,
y =2 2 + / 2 ( posito valore ipsius y1 & y2 in y =
aut, y = 4/2
aut, y = 2
Ergo, II = 0 x = y et R sint coordinatae medium id est (2). (Ans)
Magis adhuc in usu per formam procedendi pertinent respondit difficultates quae data inferius in superius descriptus quaestio XXI: -
I problema: Invenire inter coordinatas duorum punctorum linee a puncto (1, -3) et (I, -1).
Ans. (0,3.5)
I problema: Invenire medium dividit coordinatae CIRCULI jungentis puncta (5, 7) et (5,7).
Ans. (0,0)
I problema: Reperio a puncto quod dividit inter coordinatas linea segmentum jungentis puncta (X: -10) et (-5).
Ans. (1.5, 1.5)
I problema: Reperio a puncto quod dividit inter coordinatas linea segmentum jungentis puncta (III, √3) et (2√2).
Ans. (2,2√2)
I problema: Reperio a puncto quod dividit inter coordinatas linea segmentum jungentis puncta (+ 2 II, V) et (3-5i: -2).
Ans. (2,0)
Nota: si quomodo ad reprehendo punctum ad lineam dividit in (d = longitudinem unitatum) speram intrinsecus aut extrinsecus a ratione m: n
Si (x m d) / (m + n) + (n × d) / (m + n) = d; tum dividit speram intrinsecus et
Si (x m d) / (m + n) - (n × d) / (m + n) = d, tunc diviso extus
____________________________________________________________________________
Exempla in basic Formulae "Area trianguli '
Si ego,
Problems I: Quod cum sit Area trianguli duobus quibuscumque verticibus A (IX) et B (5,3) et de altitudine AB be 3 unitates in planum coordinatarum?
Solutio: Nos iam scire,
If "H" in altitudine 'B' est basis autem trianguli, tum Sit Area trianguli = ½ × b × h
(vide formulae chart)
Dicens hanc formulam non possumus dicere,
h III unitates = b = [(x2-x1)2+ (Y2-y1)2 ] ie [(5-1)2+ (3-2)2 ]
aut, b = √ [(V)2+ (1)2 ]
aut, b = √ [(I + XVI ]
aut, b XVII unitates = √
Unde requiritur area trianguli contentum, Id est h = ½ × b ×
= ½ × (√ XVII) × III unitates
= 3/2 × (√ XVII) Paucae unitates (Resp.)
______________________________________________________________________________________
Causa-II
Problems I:Quod est trianguli in angulis A (1,2), B (5,3) et P (3,5) in planum coordinatarum?
Solutio: Nos iam scire,
If A (x1,y1) B (x2,y2) et C (x3,y3) ut angulis trianguli,
Area trianguli contentum, =|½[x1 (y2- y3) X +2 (y3- y2) X +3 (y2- A1)]|
(vide formulae chart)
Habebimus hanc formulam:
(x1,y1) ≌ (1,2), id est x1= 1, y1=I,
(x2,y2) ≌ (5,3), id est x2= 5, y2III Et =
(x3,y3) ≌ (3,5), id est x3= 3, y3=5
Ideo aream trianguli = | Obolum [x1 (y2- y3) X +2 (y3- y1) X +3 (y1-y2)] | id est
= | Obolum [I (1) + V (3-5) + III (5-5)] | sq.units
= | Obolum [1x (2) + (V × II) + (III × I)] | sq.units
= | Obolum [III + X + -2] | sq.units
= | x 11| sq.units
= 11/2 sq.units
= 5.5 sq.units (Resp.)
Magis inferius pro amplius ait data sunt difficultates in praxi procedure describit uti in difficultates supra: -
I problema: Triangulum invenire, quarum vertices (1,1), (-1,2) et (3,2).
Ans. IV sq.units
I problema: Triangulum invenire, quarum vertices (3,0), (0,6) atque (6,9).
Ans. IV sq.units
I problema: Triangulum invenire, quarum vertices (1, 2), (0,4) atque (I, -1).
Ans. IV sq.units
I problema: Triangulum invenire, quarum vertices (-5,0:), (0,5) et (0: -5). Ans. IV sq.units
_______________________________________________________________________________________
Nuncius Mathematicae magis placet sequeremur Mathematica pagina.