Partes sectiones seu ratio Formulae: 41 Solutions Criticae

Exempla in basic Formulae "Point ratione vel sectiones '

Si ego,

Problems XXI: Find in coordinatae puncti P (x, y) segmentis dorsalibus quam rectam dividit speram intrinsecus jungentis puncta (21) atque (1,1) in Ratio I: II.

Solutio:   Nos iam scire,

Si autem punctus P (x, y) segmentum rectae AB ​​partes intrinsecus admovendus in Ratio m: n,ubi coordinatae A et B sunt (x1,y1) et (x2,y2) respectively. Tum autem continuae Coordinata geographica: 

png

et

png

(vide formulae chart)

Dicens hanc formulam non possumus dicere, (x1,y1) β‰Œ (1,1), id est   x1= 1, y1=I,

(x2,y2)β‰Œ (4,1), id est   x2= 4, y2=1   

et

m: n  β‰Œ I: id est II   I = m: n = II

Screenshot 4
graphical repraesentatione

Ergo,       

x =

png

( posito valore ipsius n, in m &   

png

aut, x =1*4+2*1/3 ( posito valore ipsius x1 &  x2 etiam )

aut, x = 4 2 + / 3

aut, x = 6*3

 Or, 2 x =

Exponantur get,  

y =

png

( posito valore ipsius n, in m &     y =

png

aut, y =(1*1+2*1)/3 ( posito valore ipsius y1 &  y2 etiam )

aut, y = 1*1+2/3

aut, y =  3/3

aut, y = 1

 Ergo, II = I = x et y id est coordinatae puncti P (2).   (Ans)

Magis adhuc in usu per formam procedendi pertinent respondit difficultates quae data inferius in superius descriptus quaestio XXI: -

I problema: Invenire coordinatae puncti, qui dividit speram intrinsecus CIRCULI jungentis puncta (0,5) atque (0,0) in Ratio II: III.

                     Ans. (0,2)

I problema: Qui punctus dividit speram intrinsecus invenire segmento recta jungens praedicta ilia puncta (1,1) atque (4,1) in Ratio II: I.

Ans. (3,1)

I problema: Invenire punctum quod est in linea segmentum mendacium jungentis puncta (3,5), et (III, 3,) Ratio divisas bifariam in I, I

Ans. (3,0)

I problema: Invenire coordinatae puncti, qui dividit speram intrinsecus CIRCULI jungentis puncta (-4,1) et (4,1) in III Ratio: V

Ans. (-1,1)

I problema: Qui punctus dividit lineam invenire intra fegmentum jungentis puncta (-10,2) et (10,2) in Ratio 1.5 : 2.5.

_____________________________

Causa-II

Problems I:   Invenire coordinatae puncti Q (x, y) quam extra se dividit CIRCULI jungentis puncta (2,1) atque (6,1) in Ratio III: I.

Solutio:  Nos iam scire,

Si autem punctus Q (x, y) segmentum rectae AB ​​partes extrinsecus in Ratio m: n,ubi coordinatae of A et B sunt (x1,y1) et (x2,y2) respectively, tunc coordinatae puncti P sunt 

png

et

png

(vide formulae chart)

Dicens hanc formulam non possumus dicere,  (x1,y1) β‰Œ (2,1), id est  x1= 2, y1=I,

                                                    (x2,y2)β‰Œ (6,1), id est   x2= 6, y2Et I =   

                                                    m: n  β‰Œ III: I ie    m=3: N =1   

Point sectiones
graphical repraesentatione

Ergo, 

x =

png

( posito valore ipsius n, in m &     x  =

png

aut, x =(3*6)-(1*2)/2 ( posito valore ipsius x1 &  x2 etiam )

aut, x18, 2 / 2

aut, x  = I / XXX

aut, x = 8

Exponantur get,  

y =

png

( posito valore ipsius n, in m &     y =

png

aut, y =

png

( posito valore ipsius y1 &  y2 etiam )

aut, y = 3, 1 / 2

aut, y =  2/2

aut, y = 1

 Ergo, I VIII = x et y = Q id est coordinatae puncti (8,1).   (Ans)

Magis adhuc in usu per formam procedendi pertinent respondit difficultates quae data inferius in superius descriptus quaestio XXI: -

I problema: Invenire illud quod exterius dividit CIRCULI jungentis puncta (2,2) atque (4,2) in Ratio 3 : 1.

Ans. (5,2)

I problema: Invenire illud quod exterius dividit CIRCULI jungentis puncta (0,2) atque (0,5) in Ratio 5:2.

Ans. (0,7)

I problema: Invenire punctum in fundo partem quae falsa CIRCULI jungentis puncta (-3 -2) atque (III -3) per Ratio 2 : 1.

Ans. (IX, 9)

________________________________

Causa-III

Problems I:  Invenire punctum lineae portio coordinatae jungentis puncta (-1,2) et (1,2).

Solutio:   Nos iam scire,

Si autem punctus R (x, y) in linea segmentum medium conjungens A (x1,y1) et B (x2,y2).Et coordinatae R sunt

png

et

png

(vide formulae chart)

III-re-ut est forma in casu m = n I et I =

Dicens hanc formulam non possumus dicere,  (x1,y1) β‰Œ (-1,2) ie  x1= -1, y1=et II

                                                    (x2,y2)β‰Œ (1,2), id est   x2= 1, y2=2

Screenshot 11
graphical repraesentatione

Ergo,

x =

png

( posito valore ipsius x1 &  x2  in x =

png

aut, x  = 0/2

aut, x = 0

Exponantur get, 

y =2 2 + / 2 ( posito valore ipsius y1 &  y2  in y =

png

aut, y 4/2

aut, y = 2

Ergo, II = 0 x = y et R sint coordinatae medium id est (2).   (Ans)

Magis adhuc in usu per formam procedendi pertinent respondit difficultates quae data inferius in superius descriptus quaestio XXI: -

I problema: Invenire inter coordinatas duorum punctorum linee a puncto (1, -3) et (I, -1).

Ans. (0,3.5)

I problema: Invenire medium dividit coordinatae CIRCULI jungentis puncta (5, 7) et (5,7).

Ans. (0,0)

I problema: Reperio a puncto quod dividit inter coordinatas linea segmentum jungentis puncta (X: -10) et (-5).

Ans. (1.5, 1.5)

I problema: Reperio a puncto quod dividit inter coordinatas linea segmentum jungentis puncta (III, √3) et (2√2).

Ans. (2,2√2)

I problema: Reperio a puncto quod dividit inter coordinatas linea segmentum jungentis puncta (+ 2 II, V) et (3-5i: -2).

Ans. (2,0)

Nota: si quomodo ad reprehendo punctum ad lineam dividit in (d = longitudinem unitatum) speram intrinsecus aut extrinsecus a ratione m: n

Si (x m d) / (m + n) + (n Γ— d) / (m + n) = d; tum dividit speram intrinsecus et

Si (x m d) / (m + n) - (n Γ— d) / (m + n) = d, tunc diviso extus

____________________________________________________________________________

Exempla in basic Formulae "Area trianguli '

Si ego, 

Problems I: Quod cum sit Area trianguli duobus quibuscumque verticibus A (IX) et B (5,3) et de altitudine AB be 3 unitates in planum coordinatarum?

 Solutio:   Nos iam scire,

If "H" in altitudine 'B' est basis autem trianguli, tum  Sit Area trianguli = Β½ Γ— b Γ— h

(vide formulae chart)

image?w=366&h=269&rev=57&ac=1&parent=1Ug0lE5AOAhO4i0HE5fVqVUKTEbR0on8yfNNyWgAF Po
graphical repraesentatione

Dicens hanc formulam non possumus dicere, 

 h III unitates = b = [(x2-x1)2+ (Y2-y1)2 ] ie  [(5-1)2+ (3-2)2 ]

                    aut, b = √ [(V)2+ (1)2 ]

                    aut, b = √ [(I + XVI ]

                    aut,  b XVII unitates = √

Unde requiritur area trianguli contentum,   Id est h = Β½ Γ— b Γ—

= Β½ Γ— (√ XVII) Γ— III unitates

= 3/2 Γ— (√ XVII) Paucae unitates (Resp.)

______________________________________________________________________________________

Causa-II

Problems I:Quod est trianguli in angulis A (1,2), B (5,3) et P (3,5) in planum coordinatarum?

 Solutio:   Nos iam scire,

If  A (x1,y1) B (x2,y2) et C (x3,y3) ut angulis trianguli,

Area trianguli contentum,  =|Β½[x1 (y2-  y3) X +2 (y3-  y2) X +3 (y2- A1)]|

(vide formulae chart)

Habebimus hanc formulam: 

                                              (x1,y1) β‰Œ (1,2), id est   x1= 1, y1=I,

                                              (x2,y2) β‰Œ (5,3), id est   x2= 5, y2III Et =

                                              (x3,y3) β‰Œ (3,5), id est    x3= 3, y3=5

image?w=364&h=194&rev=207&ac=1&parent=1Ug0lE5AOAhO4i0HE5fVqVUKTEbR0on8yfNNyWgAF Po
graphical repraesentatione

Ideo aream trianguli = | Obolum [x1 (y2-  y3) X +2 (y3-  y1) X +3 (y1-y2)] | id est 

= | Obolum [I (1) + V (3-5) + III (5-5)] |  sq.units 

= | Obolum [1x (2) + (V Γ— II) + (III Γ— I)] |    sq.units

= | Obolum [III + X + -2] |    sq.units

= | x 11|     sq.units

= 11/2     sq.units

= 5.5      sq.units         (Resp.)

Magis inferius pro amplius ait data sunt difficultates in praxi procedure describit uti in difficultates supra: -

I problema: Triangulum invenire, quarum vertices (1,1), (-1,2) et (3,2).

Ans. IV sq.units

I problema: Triangulum invenire, quarum vertices (3,0), (0,6) atque (6,9).

Ans. IV sq.units

I problema: Triangulum invenire, quarum vertices (1, 2), (0,4) atque (I, -1).

Ans. IV sq.units

I problema: Triangulum invenire, quarum vertices (-5,0:), (0,5) et (0: -5).                                 Ans. IV sq.units

 _______________________________________________________________________________________

Nuncius Mathematicae magis placet sequeremur Mathematica pagina.

Scroll To Top