2D Coordinare Geometriam: 11 Res magnae

Locus in 2D Coordinate Geometriae

Latina est locus est. Factum est ex verbi 'locus' vel 'Location. Pluralis Loci autem locus est.

Definitio est locus:

Et in Geometria, 'locus' est a paro of punctorum satiat quod vel figuram vel figura certa conditionibus. Recentissima in mathematica, quod de loco in locum iter aut movet ex geometricis planum implentes inimicitias conditionibus data, punctum appellatur.

Locus enim dicitur linea curva figurae irregularis CIRCULI nisi figurarum regularium et anguli verticem habens interius seu in Geometria. https://en.wikipedia.org/wiki/Coordinate_system

Exempla est locus:

lineae circuli Ellipsim parabola haec hyperbole geometricas figuras etc. Locus punctorum definitur.

Locus of equation est:

Forma geometrica algebraicas proprietates condiciones Locus punctorum omnium jurant coordinatae est locus ea quae adaequantur.

Aequatio autem per modum obtinendae locus:

Invenire aequationem pro movere locus a puncto in planum, sequentur illa, de quibus infra

(I) primum planum in puncto ponatur coordinatae autem movere non (h, k).

(II) secundi, trahunt a h et k in aequatione algebraica ex datis proprietatibus et conditionibus & Geometricum dicerem.

(Iii) Tertio modo reponere h et k et x in aequatione y respectiue superius dixit. Haec vero aequatio cum aequatione locus dicitur movere ex parte planum est. (X, y) sit vena movere de loco coordinatarum aequatio ad quarti ordinis, et locus non est semper norma forma ipsarum x et y coordinatas hoc est current.

Hic sunt aliqua exempla, ut patet de generatione locus.

IV + difficultates ex generibus solvitur Locus:

I problema: If P aliquo puncto in planum Albo XY collocata sit, quod duo data puncta equaliter distat a A (IX) et B (II, 2) in idem planum, dein locus invenire punctum P ex aequatione et Aliquam lacinia purus.

Solutio: 

locus
graphical repraesentatione

Et quis locus est in parte ponamus coordinatas OX P sint planum in recta XY, (H, k).

Quoniam P distantia AB habetur scribat

C A P distantia intervallo B =

Vel, |PA|=|PB|

lagrida latex editor 51
lagrida latex editor 46

Uel (h2 + + K IX -6h2 -4k IV +) = (h2 + + K IX -4h2 2k + + I) --- taking ad quadratum ex utraque parte.

Or, h2 + + K IX -6h2 -4k -h24h + k-V-2 -2k 0 =

Or, -2h -6k 8 = + VIII

Aut: -3 4k = 0 h +

Or, 3k = h + --- IV (I)

Hic est primus gradus sit aequatio h et k.

Si autem h k et x et y statutae, substituuntur ut aequatio (I) primum fit per gradus in forma x + y et x aequatione 1y = IV lineam rectam quae uti.

Unde et locus in puncto P (h, k) planum, ex Albo XY collocata sit linea recta cuius aequatio est locus est + x = IV 3y. (Resp.)


I problema: Si rem R ita quod movetur super planum XY, RA, RB = III, II ubi coordinatae punctorum A et B sunt (-5,3) et (2,4) respectively in idem planum, dein locus est invenire punctum R.

Quod genus curvae aequatio locus est in R esse indicant?

Solutio: Lets formam sumpseris ut coordinatae ex aliquo puncto in punctum datum est locus R in planum Albo XY collocata sit, (M, n).

Asper data conditione, RA, RB = III, II,

habemus,

(R distantia ab A) / (R distantia a B) = 3/2

lagrida latex editor 47

Aut, (m2 XXXIV n + + + 10M2 -6n) / (m2 -4m n +2 -8n XX +) = IX / IV ---- taking ad quadratum ex utraque parte.

Or, IV (m2 XXXIV n + + + 10M2 -6n) = IX (m2 -4m n +2 -8n XX +)

Aut, 4m2 CXXXVI formae 40w + + + 136m2 24r = -9n2 36n -9m +2 -72n XX +)

Aut, 4m2 CXXXVI formae 40w + + + 136m2 -24n - 9d2 36n-9m +2 CLXXX-72 = 180n +

Or, -5m2 76n-5m +2CLXXX-48 = 44n +

Or, V (m2+n2) -76m 48n + + = 44 XLIV ---- (I)

Alter gradus est aequatio pro m et n.

Si autem m et n statutae, substituuntur x et y, aequatio (I) Secundus gradus fit ad aequationem x et y V in forma (x2+y2) -76x 48y + + = 44, ubi XLIV x coefficientes2 et y2 sunt eiusdem coefficientis y evanescit. Haec aequatio repraesentet circulus.

Unde et locus in puncto R (m, n) in circulo XY collocata sit, planum est, et locus sit aequatio

V (x2+y2) XLIV -76x + + = 48 44y (Resp.)


I problema: Omnes enim valores ipsius (θ, aCosθ, bSinθ) sunt coordinatae punctum P quod in plano XY movetur. Aequationem loci P.

Solutio: lets (h, k) coordinatae quis iam locus mentiendi ex P in planum super-Y.

Inde ad quaestionem 'asperum, possumus dicere,

h = a Cosθ

Or, h/a = Cosθ ———(1)

Et k = b Sinθ

Or, k/b = Sinθ ———(2).

Sumamus iterum, et quadratum ex aequationibus (I) et (II), et deinde addit, habebitur

h2/a2 K +2/b2 Cos =2θ + Sin2θ

Or, h2/a2 K +2/b2 = I (cum Cos2θ + Sin2θ = I in Trigonometria)

Erit ergo punctum P ex x est2/a2 y +2/b2 = XC. (Resp.)


V problema: Invenire aequationem locus a puncto Q, moventes Albo Composito XY, in planum, si Q sint coordinatae

lagrida latex editor 1 1

ubi u modularis variabilis est.

solution: Fiat iam super ulla coordinatae locus est datum punctum Q, dum movetur super planum Albo XY collocata sit, (h, k).

Deinde h = lagrida latex editor 3et k = lagrida latex editor 2

id h (3U + II), = k et 2u-II (I-u) V = + 7u

id est (3H-VII) II-u = -7h et (IV-k) V + u = k

id est u =lagrida latex editor 4 ----- (I)

et u = lagrida latex editor 5 ----- (I)

Iam aequationem, aequationes (I) et (II), dabimus tibi, lagrida latex editor 6

Aut (-2h-II) (IV-k) = (2h-VII) (V + k)

Or, -2hk, 8h + = 2k + VIII + 8hk, 15h 3-35k

Or, -2hk 8h, 2k + +, 15h 3hk, 7k -35-8 =

Or, -5hk 7k = -5, + 43h

Aut: 5b 7hk + = XLIII, 5k

Unde aequatio 5xy est locus est + Q-7x 5y = XLIII.


Locus exempla magis in usu est pro tua responsa sua:

Problems I: Si θ sint variabiles et u constantes, invenias aequationem loci puncti sectionis duarum rectarum x Cosθ + y Sinθ = u et x Sinθ- y Cosθ = u. (Ans. X2+y2 2u =2 )

Problems I: Aequationem loci medij linee segmenti rectae x Sinθ + y Cosθ = t inter axes reperi. (Ans. I / x21 + /y2 = IV / T2 )

Problems I: Si enim per punctum P recta XY, in via movere tale planum per punctum quod est aream trianguli duo puncta (II, 2) et (1). (Ans. 5 x = y-XI)


Exempla in basic Formulae "Centroid trianguli '  in 2D Coordinate Geometriae

ibit: Quod medians tres trianguli concurrat cum semper ad illud, intus sita in area trianguli ad mediam dividit et Ratio II: I ab angelo quolibet in latus oppositum ad punctum. Et hoc dicitur ibit parte ipsius trianguli.   

Problems I: Find ibit cum angulis trianguli (-1), (1,0) atque (0,4).

Solutio:  Nos iam scire,

                                             If  A (x1,y1) B (x2,y2) et C (x3,y3) et erunt angulis dati trianguli G (x, y) et ibit trigoni producatur, deinde coordinatae G sunt

lagrida latex editor 7

et

lagrida latex editor 8 1

Habebimus hanc formulam: 

(x1,y1) ≌ (-1,0) ie x1= -1, y1=0;

(x2,y2) ≌ (0,4), id est   x2= 0, y2Et = IV

(x3,y3) ≌ (5,0), id est   x3= 5, y3=0

(vide formulae chart)

Screenshot 17
graphical repraesentatione

Igitur coordinatarum x, ibit ad G,   lagrida latex editor 9

ie lagrida latex editor 10

id est x=4/3

                  et 

applicatam y, et ibit ad G,  lagrida latex editor 11

id est lagrida latex editor 12

id est y = 4/3

Ideo coordinatae ibit dati trianguli est lagrida latex editor 13 . (Ans)

Magis adhuc in usu per formam procedendi pertinent respondit difficultates quae data inferius in superius descriptus quaestio I: -

Problems I: Ibit invenire coordinatae triangulari de angulis ad puncta (3, 1), (-1,3)) et (1,1).

Ans. (-1,1)

Problems I: Quid-coordinatis x et ibit ad Favonium ad vertices (5,2), (10,4) atque (VI, 6)?

Ans.

Problems I: Tribus angulis dati trianguli sunt (5,9), (2,15) atque (11,12) ibit inveniet hujus.

Ans. (6,12)


Remotio Origin / 2D Co habentia ordinem ad Axes- translation of Philosophy

Origin of the Origin shifting modo sibi esse ad aliud descendat observatio intentionem respectu axium mutatur id est originale novae axibus axes in parallel manet idem planum. Securibus per translationem processus originis saepeque multis problems aequationem algebraicam simpliciores geometricam formam solvi possit.

Formula 'Remotio Origin of "vel" Securtum Number' qui hic infra de- scriptum est graphical repraesentatione.

Formula:

O si esset origo P (x, y) Albo XY collocata sit in aliquo puncto in planum inclinatum sit ad alium punctum O, et O (a, b) in quibus coordinatae puncti P facti sunt (x1,y1) X in eodem piano ad axem novum1Y1  : Nova Et Coordinata geographica: ex P in

x1 = Est x-

y1 Y = b

Graphical repraesentatione iudicio ferendo; Post graphs

Screenshot 45
Screenshot 46

Pauci solvitur Problems in forma 'Remotio Origenis;

I-problema: Si sunt duo puncta (3,1) atque (5,4) in idem planum sit inclinatum ad originem et in puncto (3,1) nova observatio ab originali axium inter se parallelorum et securium usque ad cooperatores ordinis tunc invenietis punctum (5,4) in novam quantum ad originem et cum securibus excidere conarentur.

Solutio: Et comparet cum cinis absumpto 'Remotio Origenis supra scriptum habemus novum Origin: O (a, b) ≌ (3,1) = III id est a, et b = I requiritur ad punctum P, (x, y) ≌ (3), id est v = x, y = IV

Screenshot 52

Si autem (x1,y1) Erit novum coordinatae puncti P (5,4), deinde formulam x 'asperum1 = X et y1 Yb =,

et dabimus tibi, x1 5-3 et y =1 = 4-1

id est x1 Et II y =1 =3

Unde novus requiritur coordinatae puncti (5,4) est (2,3). (Resp.)

I-problema: Post quod Origin shifting in puncto ad idem planum, manentibus axium inter se parallelorum inter se, quarum coordinatae puncti (V, -5) facti sunt (IV, 4) inter coordinatas inveniet Origin of novus.

Solutio: Hic per formulam 'Remotio ad Origin' vel 'Number Securtum', non possumus dicere, cum coordinatae puncti P et axem respectively quantum ad vetus et novum Origin, et non (x, y) ≌ (V, -5) ie v = x, y = -4 et (x1,y1) ≌ (IV, 4) ie  x1= IV, y1= -5

Screenshot 50

Nunc habemus invenire inter coordinatas novae Origin O (a, b) ie = b = a ?,?

Asper formula;

x1 x = a

y1 y = b

ie axx =1 et byy =1

aut, a=5-4 et b= -4 - (- V)

aut, a=et 1 bV + = -4

aut, a=et 1 b= 1

Igitur, O (1,1) novum et novum Origin Origin id coordinatae sint (1,1). (Resp.)

Exempla in basic Formulae "puncta de Collinearity (tria puncta)" in 2D Coordinate Geometry

Problems I:  Reprehendo num puncta (1,0), (0,0) atque (-1,0) ctum uel non esse.

Solutio:  Nos iam scire,

                                            If  A (x1,y1) B (x2,y2) et C (x3,y3) ctum aliquod trium punctorum, in ea areae trianguli scilicet nulla aream trianguli contentum, Et dimidiam [x1 (y2- y3) X +2 (y3- y1) X +3 (y1-y2)] =0

(vide formulae chart)

Habebimus hanc formulam:

(x1,y1) ≌ (-1,0) ie   x1= -1, y1= I,

(x2,y2) ≌ (0,0), id est   x2= 0, y2= 0;

(x3,y3) ≌ (1,0), id est    x3= 1, y3= 0

Screenshot 14
graphical repraesentatione

Ita, aream trianguli = | Obolum [x1 (y2-  y3) X +2 (y3-  y1) X +3 (y1-y2)] | id est.

(LHS) = | obolum [1 (0-0) + 0 (0-0) + I (1-0)] |

= | Obolum [(- I) x1 0x0 + + I × 0] |

= | Obolum [0 + + 0 0] |

= | X summis dimidia 0 |

= 0 (RHS)

Ergo trianguli istorum punctorum evanescat quæ jacent in eadem linea.

Ideo enim data puncta sint punctorum ctum. (Ans)

Magis adhuc in usu per formam procedendi pertinent respondit difficultates quae data est inferius ad superius descriptus I problema: -

Problems I: Reprehendo sive de punctorum (1: 1), (0,0) atque (1,1) ctum uel non esse.

Ans. Yes

Problems I: Id est lineam per tria puncta esse potest ad trahunt (-3,2), (V, -5) et (3)?

Ans.nullum

Problems I: Inspiciant an puncta (1,2), (3,2) et (-5,2) connectantur lineis potest ordinare in plano trianguli.

Ans. nullum

______________________________

Exempla in basic Formulae "Incenter trianguli ' in 2D Coordinate Geometriae

Incentia:Centrum trianguli ABC est scriptor maxima incircle quæ Vices intra triangle.It est etiam punctum intersectionis trium bisectors de angulis trianguli.

Problems I: Lateribus et angulis trianguli (-2,0) (0,5) et (6,0) resp. Invenire incenter trianguli.

Solutio: Nos iam scire,

If  A (x1,y1) B (x2,y2) et C (x3,y3) erunt vertices, est = BC, CA = AB = b et c, G '(x, y) incentre esse trianguli,

Quod autem co.ordinates G′ sunt

lagrida latex editor 14 1

et         

lagrida latex editor 15 1

(vide formulae chart)

Screenshot 56

Asper habemus formulam:

(x1,y1) ≌ (-4,0) ie  x1= -4, y1=0;

(x2,y2) ≌ (0,3), id est  x2= 0, y2III =;

(x3,y3) ≌ (0,0), id est   x3= 0, y3=0

Nunc habemus,

√ a = [(x2-x1)2+ (Y2-y1)2 ]

Aut a = √ [(IV + 0)2+ (3-0)2 ]

Aut a = √ [(IV)2+ (3)2 ]

Aut a = √ (+ IX XVI)

Aut a = √25

aut, ------ sit = V (I)

b = √ [(x1-x3)2+ (Y1-y3)2 ]

Aut: b = √ [(-4-0)2+ (0-0)2 ]

Aut: b = √ [(-4)2+ (0)2 ]

Aut: b = √ (XVI + 16)

Aut: b = √16

aut, IV b = ------- (II)

c = √ [(x3-x2)2+ (Y3-y2)2 ]

Or, c = √ [(0-0)2+ (0-3)2 ]

Or, c = √ [(0)2+ (- V)2 ]

Or, c = √ (0 + IX)

Or, c = √9

aut, ------- c = III (III)

et inx1+ bx2 cx +3 = (X V (-5)) + (4 IV X) + (III X VI)

20 + + = 0 XVIII

aut, ax1bx +2 cx +3 -2 ------- = (IV)

ay1+ by2miseri + cordiae3 = (X V 5) + (III IV X) + (III X 0)

XII 0 = + + 12

aut, ay1a +2miseri + cordiae3 XII = ------- (V)

a + b + c XII 5 = + + 4

aut, a + b + c = XII ------ (VI)

Uti supra in aequationibus (I) (II) (III), (IV), (V) et (6) nos autem computare x et y a

lagrida latex editor 16 1

Or, -2/12 x =

Or, -1/6 x =

et

lagrida latex editor 17 1

Aut y = 12/12

Aut y = I

Requiritur ergo ad coordinatae incenter trianguli dati sunt (-1/6: I). (Resp.)

Magis adhuc in usu per formam procedendi pertinent respondit difficultates quae data inferius in superius descriptus quaestio I: -

Problems I: Invenire coordinatae triangulari incenter de angulis ad puncta (3, 1), (-1,3)) et (1,1).

Problems I: Quod x, applicata ad incenter in angulis trianguli (0,2), (0,0) et (0, -1)?

Problems I: Tribus angulis dati trianguli sunt (1,1), (2,2) atque (3,3). Invenire incenter hujus.


Scroll To Top